확률 개념과 원리
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지 명 화
- 통계학에서 연구를 위해 조사가 필요한 경우가 생김
- 전수조사를 할 수 없다.
- 표본 조사를 한다.
- 표본 오차(모집단의 모수를 직접 구할 수 없기 때문에)가 발생한다.
- 모집단의 모수를 추측할 수 밖에 없다.
- 오차의 범위를 확률을 통해 구한다.
확률을 배우는 이유는?
개념
- 전체 중에 이 사건이 가질 수 있는 경우(경우의 수가 필요함)
- 비슷한 현상이 반복해서 일어날 경우에 어떤 사건이 발생할 가능성을 0과 1사이의 숫자로 표현한 것
- ex) 로또에 당첨될 확률은?
활용
- 표본의 자료를 통해서 구한 통계량을 가지고 모집단의 모수를 추정
- ex) 추정: 신뢰수준(95%) 가설검정: 유의수준(5%)
종류
- 경험적(Empirical)
- 실험을 통한 확률
- ex) 흡연자 중 폐암에 걸릴 확률
- 고전적(Classical)
- 이론적 확률
- ex) 주사위에서 1이 나올 확률
- 주관적(Subjective)
- 주로 전문가의 의견
- ex) 새로운 상품이 시장에서 성공할 확률
- 실험
사전에 알려지지 않은 결과를 관찰하는 과정
- 표본공간
통계적 실험이나 조사에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 모임, 주로 S를 사용 ex) {구매, 비구매}
- 사건 또는 사상
표본공간에서 결과의 부분 집합
(이산형) S = { 구매 }
(연속형) S = {m: m > 0}
확률 용어
1. 계산의 기본 규칙(곱셈의 법칙)
- 각 실험의 집합: T1, T2, T3, .., Tk
- 가능한 실험의 결과(수) : n1, n2, n3, ..., nk
- k번 실험한 결과의 집합 : n1 x n2 x n3 x ... x nk
ex) 부사장 3명, 이사 4명, 부장 5명이 있는 회사에서,
대표 1명씩 총 3명의 위원회가 열릴 경우의 수는? 3 x 4 x 5 = 60
카운팅(경우의 수)의 기본 규칙
2. 부분합의 계산
- 각 실험의 집합: T1, T2, T3, .., Tk
- 가능한 실험의 결과(수) : n1, n2, n3, ..., nk
- k번 실험한 결과의 집합 : n1 x n2 x n3 x ... x nk
ex) 부사장 3명, 이사 4명, 부장 5명이 있는 회사에서,
2명으로 위원회를 구성할 수 있는 경우는? (3x4) + (3x5) + (4x5) = 12 + 15 + 20 = 47
순열(Permutation)
서로 다른 n개 중 r개를 선택해 순서를 고려해 나열하는 방법의 수
ex) 야구경기에는 총 9명의 플레이어가 있으며, 9개의 타순이 있다.
K 야구 구단 이감독은 9개의 타순을 짜려고 한다. 모든 경우의 수는?
n! = 9! = 9 x 8 x ... x 1 = 362800
조합(Permutation)
n개 중 r개를 선택해 순서를 고려하지 않고 뽑는 방법의 수
ex1) 45개의 번호를 가진 로또에서 6개의 숫자를 고를 경우의 수는?
45C6 = 45P6 / 6! = 8,145,060
ex2) 이 중 6개 중에서 3개의 숫자가 동일할 경우 5등이다. 경우의 수와 확률은?
6C3 x 39C3 = 20 x 9,139 = 182,780
182,780 / 8,145,060 = 0.022(2.2%)
확률과 승산비
승산비: 사건이 발생할 확률과 발생하지 않을 확률간의 비율
P(A) / P(A') = P(A) / (1-P(A)) or P(A') / P(A) = (1-P(A)) / P(A)
ex) 승마나 게임에서는 사건 A에 반대하는 승산비로 표시: 4:1
A 경주마에 대한 승률이 4:1이라고 했을 경우에 승산비와 승률은?
P(A') / P(A) = (1-(1/5)) / (1/5) = (4/5) / (1/5) = 4
P(win) = a / (a + b) = 1 / (4 + 1) = 1/ 5 = 0.2
조건부확률
- A라는 조건이 주어진 상태에서 B가 발생할 확률
- 교차분석, 데이터 마이닝에서 중요한 개념 -> 연관성 분석
ex) A 전자는 컴퓨터를 산 사람에게 키보드를 사라고 추천하고 싶다. 과연 컴퓨터를 산 사람에게 키보드를 사라고 추천해도 될까? 기존의 100명을 대상으로 한 판매데이터를 가지고 분석해보자.
P(컴퓨터) = 60 // 컴퓨터를 살 확률
P(키보드) = 50 // 키보드를 살 확률
P(컴퓨터 ∩ 키보드) = 40 // 컴퓨터와 키보드를 모두 살 확률
>> 컴퓨터를 산 사람에게 지켜만 보고 그냥 키보드를 팔았을 때(Confidence)
P(키보드 | 컴퓨터) = P(컴퓨터 ∩ 키보드) / P(컴퓨터) = 40 / 60 = 0.666
>> 컴퓨터를 산 사람에게 키보드를 살 것이냐고 직접 물어봤을 때(Lift)
P(키보드 | 컴퓨터) / P(키보드) = 0.67 / 0.5 = 1.33(확률이 아니라 배)가 높아짐
- Support (지지율)
- P(A) or P(A, B) // A의 확률 or A, B가 일어날 확률, Probably
- 사건이 일어나는 비율
- 전체 거래 가운데 A 또는 A, B 모두가 들어있을 비율
- 지지율 = A, B를 포함한 거래수 / 전체거래수
- Confidence (신뢰도)
- P(B|A) = P(A, B) / P(A)
- 선행 사건이 일어나고 난 후 후행 사건이 일어날 확률
- 항목 A가 발생한 상태에서 B가 발생할 확률
- 1에 가까울 수록 확률이 높다
- Lift (향상도)
- P(B|A) / P(B)
- 예측에 있어서 무작위 추측에 비해 규칙이 얼마나 더 우수한가
- Confidence를 후행사건의 빈도로 나누어 주는 것
베이즈 정리(Baye's Rule)
베이즈 정리: 사전 확률과 사후 확률 사이의 관계를 조건부확률을 이용해서 계산
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(B/A) x P(A) / P(B)
P(B)를 모를 때, P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')
ex) 김씨는 유방조영술을 이용해서 유방암을 검진하려고 한다. 40-50대 여성이 유방암에 걸릴 확률은 0.8%이다. 유방암에 걸렸을 때, 유방조영술을 통해서 양성(Positive)로 나올 확률은 90%이다. 유방암이 아니더라도 유방조영술이 양성일 확률은 7%이다. 김씨는 유방조영술을 통해 양성이라고 검진되었고, A의사는 여성이 유방암에 걸렸을 확률이 90%라고 하고, B의사는 10%라고 하고, C의사는 50%라고 한다. 김씨는 어떻게 판단해야 할까?
여성이 유방암에 걸릴 확률(A) : P(A) = 0.008
유방암일 때(A) 유방조영술이 양성인 경우(B) : P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0.9
유방암이 아닐 때(A') 유방조영술이 양성인 경우(B) :
>> P(B|A') = P(A' ∩ B) = P(A') = 0.07
유방조영술이 양성(B)일 때, 유방암(A)일 확률 :
>> P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(B|A)P(A) / P(B) = (0.9)(0.0008) / P(B)